里奇流——内蕴的几何流

近日，中科大几何与物理研究中心创始主任陈秀雄教授与王兵教授在国际知名数学期刊《微分几何学杂志》上发表了关于高维凯勒里奇流收敛性的论文。该论文解决了几何分析领域二十余年悬而未决的核心猜想，并取得了重大进展。菲尔兹奖得主唐纳森也多次在媒体和文章中称赞此文为“几何领域近年来的重大突破”。那么，为此做出巨大贡献的里奇流是什么？让我们来了解一下。

一、微分几何学是什么

在介绍里奇流之前，我们先来了解一下什么是微分几何学。微分几何学起源于17世纪，最早研究内容是平面曲线的曲率、曲线的包络等。在18世纪，随着欧拉对微分几何学的奠基，以及蒙日、梅斯尼埃、拉格朗日等人对它的发展，微分几何的研究主题开始从平面曲线的研究扩展到空间曲线和曲面理论的研究，特别是关于曲面理论的研究，积累了诸如曲面的曲率、可展曲面、曲面上的测地线、极小曲面等方面的研究成果。这些曲面理论的成果为高斯进入微分几何学提供了基本的研究问题和工具，并为高斯提出内蕴微分几何学打下理论基础。在整个微分几何学的发展阶段，诞生了很多研究工具，里奇流就是其中之一。

二、几何分析工具——里奇流

里奇流是一种描述空间演化的微分几何学研究工具。1982年由哈密尔顿在文献中首先引入，在文献中，哈密尔顿利用里奇流，分别分类了具有正里奇曲率的3维流形和具有正曲率算子的4维流形。1993年，哈密尔顿又在文献中引入了里奇流手术，并且提出了解决庞加莱猜想和几何化猜想的提纲。在微分几何里，里奇流是一个内蕴的几何流。它是模仿热扩散的方式在黎曼流形上变化其度量，去掉度量的非正则化，最终里奇曲率流将得到一个高斯曲率处处相等的黎曼度量。

三、里奇流的应用

里奇流最初由哈密尔顿引入以研究具有正里奇曲率的紧致3维流形。而在经过许多数学家数十年的研究后，里奇流现已被广泛用于研究有关流形的拓扑，几何和复杂结构。特别是，哈密尔顿过去20年的基础工作以及佩雷尔曼对庞加莱猜想的证明，使里奇流成为了几何分析中最复杂，功能最强大的工具之一，在为著名的庞加莱猜想提供了重要的解决方案后，现还被中国数学家用来解决了哈密尔顿-田猜想和偏零阶估计猜想，这些均为几何分析领域的核心猜想。

四、微分几何发展对我们生活的影响

微分几何学自17世纪起源以来，便对很多学科的发展产生了巨大的推动作用，在我们的日常生活中更是处处可见。它是一种可用来研究空间几何的学科，大到宇宙膨胀，小到热胀冷缩，诸多自然现象都可以归结到空间演化。它的发展对于我们的生活影响巨大，人工智能、机器人和虚拟现实等现代技术，以及物理学中著名的广义相对论和量子场论等，都是因微分几何才得以被推进和发展。可以说，微分几何即使在今天也发挥着重要的作用，并将更加深远地影响我们的未来。

参考资料：

[1]中国科大几何与物理中心团队在里奇流研究中取得重大突破.中国科学技术大学.2020.11.4

[2]我国学者攻克数学难题 历时11年证明微分几何学核心猜想.央广网.2020.11.9

[3]刘建新.从高斯到黎曼的内蕴微分几何学发展[D].西北大学,2018.

[4]我国数学家成功证明微分几何学两大核心猜想.新华网.2020.11.9

[5]刘佳伟. 凯勒流形上带有锥奇性的凯勒—里奇流[D].中国科学技术大学,2015.

[6]于晓康.图的曲面嵌入和应用研究[D].山东大学,2012.

[7]Cao H D , Chen B L , Zhu X P . Recent Developments on Hamilton's Ricci flow[J]. Surveys in Differential Geometry, 2007, 12(1):47-112.

[8]穿越11年的数学长跑：寻找那颗最完美的“鹅卵石”.新华网.2020.11.16

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