3月14日一起为“π”过生日！关于圆周率你知道多少?

今天，是国际圆周率日，也是国际数学日。古往今来，数学家们乐此不疲地追求圆周率的精确数值，它究竟有怎样的魅力？

整理/新媒体编辑 段大卫

2019年11月26日联合国教科文组织第四十届大会上正式宣布3月14日定为国际数学日。之所以选择这一天，是因为连接“天圆”和“地方”的圆周率近似为3.14。古往今来，数学家们乐此不疲地追求圆周率的精确数值，历史上的数学家们是如何计算圆周率的呢？它究竟有怎样的魅力？

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圆周率的数学史

圆周率大家都很熟悉，历史上众多数学家为了计算它的精确值，都付出了不懈的努力。早在远古时期，伟大的劳动人民就发现圆的周长与直径之间有着不可告人的秘密。出土文物显示，古巴比伦时期的几何学家已经将圆周率推算到25/8，(即3.125)。而最早的有记录的严谨算法可以追溯到公元前250年。古希腊数学家阿基米德通过正多边形法得到了π的下界与上界分别为223/71与22/7，即

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▲《沉思的阿基米德》

（图片来源：skd-online-collection.skd.museum）

阿基米德求圆周率的思路是首先构造圆内接多边形和对应的外切多边形。当边数足够大时，两个多边形的周长便趋近于圆周长的下界与上界。

（图片来源：中科院物理所）

▲祖冲之（429～500），字文远，南北朝刘宋数学家。祖冲之计算出了圆周率的两个近似值：22/7（“约率”）与355/113（“密率”）。密率将圆周率精确到小数点后第7位，这一纪录直到16世纪才由阿拉伯数学家阿尔·卡西打破。

（图片来源：wikipedia）

此后，数学家先后借助割圆术、无穷级数等方法计算π的值。三国时期的数学家刘徽在约公元265年创立了割圆术，用正3072边形计算出π的数值为3.1416。之后祖冲之在公元480年利用割圆术计算正12288边形的边长，得到圆周率约等于355/113（即3.1415929）。

▲《莱昂哈德·欧拉（1707-1783）》，近代数学先驱，有史以来最伟大的数学家之一。法国数学家拉普拉斯曾这样评价欧拉的贡献：“读读欧拉，他是所有人的老师。”

（图片来源：www.mathematik.de)

1706年，英国天文学家约翰·梅钦已经可以利用格雷果里-莱布尼茨级数产生的公式计算到π的第100位小数了。同样在这一年，威廉·琼斯在《新数学导论》中第一个将π作为圆周率的专属符号，但真正让各国数学家接受这一设定的还要归功于莱昂哈德·欧拉。1736年，欧拉在其《力学》一书中开始使用符号“π”，此后数学家们纷纷效仿。

直到微积分的发明，数学家们开始利用无穷级数来计算圆周率，摆脱了以往的繁复计算，圆周率的计算变得更加轻松，计算精度也得到很大提高。1948年，英国的弗格森和美国的伦奇将圆周率计算到了小数点后808位，这是手工计算圆周率数值的最高纪录。

在此之后，再也没有人尝试用手工计算打破纪录了，因为计算机的时代到来了。据相关媒体报道，2021年瑞士的研究人员使用一台超级计算机，历时108天，将著名数学常数圆周率π计算到小数点后62.8万亿位，创下该常数迄今最精确值记录。

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圆周率为什么要继续算下去？

在日常生活中的计算问题上，圆周率只需要保留到小数点后几位就可以了。即使是工程或者物理上的计算，最多也只需取值至小数点后几十位。如果以40位精度的圆周率数值来计算可观测宇宙的大小，误差可以控制到一个氢原子直径之内。这意味着，圆周率精确到小数点后几百位就已经够用了。

很多数学家都为了算出更加精确的圆周率数值而努力过，可始终都没有算到头。直到1761年，德国数学家兰伯特证明圆周率是一个无理数，人们才最终明白圆周率是不可能算到尽头的。在1882年的时候，当林德曼证明了圆周率是超越数之后，圆周率就再也没有什么神秘面纱了。超越数就是不能作为有理系数多项式方程的根的数，与之对应的是代数数。自然常数和圆周率都是超越数。

既然超高精度的圆周率值已没有意义，科学家也知道圆周率是一个无限不循环小数，永远也不可能算尽，为什么科学家还如此执着？还要继续算下去？

圆周率是一个非常重要的常数。有人说圆周率中隐藏着宇宙的秘密，科学家不断地计算，就是为了破解圆周率中的秘密，发现它，就能打开新世界的大门。可这些人为赋予的神秘色彩，并不靠谱，完全没有科学依据。

其实，科学家之所以不断刷新着圆周率值的精度纪录，并不为别的，主要是为了验证超级计算机的性能。因为要想在短时间内获得高精度的圆周率数值，计算机的性能就必须非常强大。圆周率的计算比较有代表性，选择它，并打破纪录，也比较容易引人注目。

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圆周率不止于数字

其实，除了枯燥的数字，圆周率还有你意想不到的存在。

π的视觉化

设计师克里斯蒂安•瓦西(Cristian Vasile)和马丁(Martin Krzywinski)通过将圆周率前10000个数字用相对应的颜色连接，形成绚丽的可视化图形，将π转化成一组惊艳的作品。

π的币章

说到圆周率，自然会想到我国古代数学家、天文学家祖冲之，他对于中国乃至世界做出了重大贡献，也因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。

1986年中国人民银行发行了中国杰出历史人物金银纪念币（第3组），其中22克银币背面图案之一就是祖冲之。

祖冲之银币由童友明设计雕刻，币面简洁、朴素，除了人物主体形象的细腻刻画之外，背景案几上的“指南车”（发明与黄帝时代，后失传，祖冲之追修古法重造）和左上角几何图案的“祖率”，都更加烘托人物形象，使之立体、饱满。

除了祖冲之纪念币，上海造币有限公司还铸造了古代科技发明（一组）——祖冲之纪念章。纪念章的正面图案为祖冲之头像、圆周率计算方式图等；背面图案为数字及数学进位制推算演化，以及一面具有中国特色的如意银算盘组成（以镶嵌工艺镶嵌在纪念章之上）。纪念章以算盘珠的形式，用圆中有孔的动静结合手法，将我国伟大科学家，祖冲之的形象和科学成就展现出来。新意的构思，启迪着对科学的敬重，展现出章牌的精美。

除了我国发行的币章外，2014年纽埃发行了“π——圆的秘密”彩色纪念银币。该币直径50毫米，重50克，面额2新西兰元，发行量500枚。该币最大的特点就是应用了纳米雕刻技术，在币面上的一个边长11毫米的方块内，容纳了π的超过100万个数字。

银币背面描绘的是阿基米德计算圆周率的场景。古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河，称得上是“计算数学”的鼻祖。

(内容综合自：中科院物理所，科学大院，科学探索君，科普中国，Science科学，中国金融杂志等)

出品：科普中央厨房

监制：北京科技报 | 北科传媒

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