科普 | 代数拓扑的诞生

19 世纪的代数学家发现的新的数学对象（矩阵、代数、群、簇等）开始被数学家们运用到他们的研究工作中，他们把这些新数学对象作为解决几何学、拓扑学、数论和函数论等其他数学领域中的问题的工具。法国数学家庞加莱最先将拓扑学的思想代数化，成为代数拓扑的创始人。而他的传人布劳威尔，更是一位非常有想法的哲学家——直觉主义的创始人。

撰文 | 约翰·德比希尔（John Derbyshire）

翻译 | 张浩

拓扑学通常被叫作“橡皮几何学”。想象一个二维曲面，例如球面，假设它是由某种可伸缩的材料制成的。这个橡皮球面可以通过拉伸或挤压变换成其他任意与球面“相同”的曲面，这就是拓扑学家关心的东西。为了让拓扑学具备数学的精确性，你需要再制定一些规则，例如切割、黏合、把一个有限区域“挤压”成一个没有维度的点，或者允许这个橡皮曲面可以像雾一样穿过自身，这些规则在不同的应用中略有不同。不过在这里，这种宽泛而熟悉的定义已经足够了。

直到 19 世纪末，拓扑学都没有显示出与代数有多大关系。事实上，它的早期发展非常缓慢。“拓扑”这个词最早是哥廷根数学家约翰·利斯廷（Johann Listing，1808-1882）在 19 世纪 40 年代使用的。利斯廷的很多想法都似乎来自高斯，他与高斯关系很密切。然而，高斯从未发表过任何与拓扑相关的文章。1861 年，利斯廷描述了一个单侧曲面，现在我们称之为莫比乌斯带（图1）；莫比乌斯在四年后也写下了关于这个曲面的文章，由于某些原因，正是他的介绍才引起了数学家们的注意。尽管现在为其正名为时已晚，但是我还是将图 14-1 标记为利斯廷带，为利斯廷恢复一点点公正。

图1 利斯廷带

另外，如果是有折痕的球面（图2），从上面剪下来一块小圆片，那么剩下的部分就与利斯廷带拓扑等价。两个对象在适当的拉伸和挤压下“相同”（即拓扑等价）可以用一个更漂亮、更时髦的术语来表述：同胚。不过，说起它，要说的可就多了，为了使表述简单起见，我还是继续用“拓扑等价”这个词。

图2 拓扑意义下的射影平面

1851 年，黎曼在他的博士论文中使用复杂的自相交曲面来帮助理解函数，这一做法是推动拓扑思想发展的另一个因素。在仔细研究这些黎曼曲面后，若尔当提出了一个研究这些曲面的想法——观察嵌入在其中的封闭路径，看看会发生什么。我在这里用“曲面”代替“空间”，使其更直观一些。

例如，想象一个球面，取球面上的一点，从这一点出发，沿一个圈行走，直到回到原点。如果不对你刚才走过的这条路径做任何非拓扑的操作，也不离开这个曲面，那么它能一直收缩到这个出发点吗？它能够光滑而连续地收缩吗？是的，它可以。这个球面上的任何一条路径都可以做到这一点。

对于一个环面来说就不是这样了。图3中描绘的路径 a或路径 b 都不能收缩到点 P，但是路径 c 可以收缩到点 P。因此，也许研究这些路径确实可以让我们了解关于曲面拓扑的信息。

图3 环面上的闭路

闭路族能构成一个群吗？

1895 年，一位才华横溢的法国数学家把这些想法代数化，这位数学家就是巴黎综合理工学院的亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）。庞加莱是这样陈述的：考虑一个曲面上的所有可能的若尔当闭路，即起点和终点相同的所有路径。令这个基点固定不动，把所有闭路分成若干集族，如果一条闭路能够光滑地变形为另一条闭路，那么这两条闭路就属于同一个族，即它们是拓扑等价的。考虑这些族，无论它们有多少。两个族的合成定义如下：首先经过第一个族的一条路径，然后再经过第二个族的一条路径（选择哪条路径无关紧要）。

现在，你有了一个以闭路族为元素的集合，而且还有一种将两个元素合成为另一个元素的方法。这些元素（即闭路族）能构成一个群吗？庞加莱证明它确实是一个群，于是代数拓扑就这样诞生了。

你还需要一小步就可以得到任意曲面的基本群的概念——你需要摆脱你的闭路对任意特定基点的依赖（事实上，它们无须是我定义的精确的若尔当闭路）。这个群中的元素是这个曲面上的路径族，合成两个路径族的法则如下：首先经过第一个族的一条路径，再经过第二个族的一条路径。球面的基本群实际上是只有一个元素的平凡群。每一条闭路都可以光滑地收缩成这个基点，所以只有一个路径族。

我提到过，球面的基本群是只有一个元素的平凡群。但是这个事实本身却并不平凡。

事实证明，任何以只有一个元素的平凡群为基本群的二维曲面一定与球面拓扑等价。现在，我们熟悉的嵌入在普通三维空间里的二维球面在高维空间中有类似物。例如，一个弯曲的三维空间“就像”一个球面，但是它处于四维空间中，有时被称为超球面。有时也被称为三维球面。然而人们很难在头脑中想象这个术语，至少对非数学专业人士来说是这样的。“三维球面”是指普通球的二维表面弯曲地放在三维空间中的二维曲面吗？还是指一个超球的难以想象的三维表面弯曲地放在四维空间中的三维曲面呢？对数学家来说，三维球面指的是后者，因为黎曼告诉我们要从一个流形的内部考虑流形这个空间。不过，非数学专业人士通常把二维曲面放在三维空间中观察，所以前者也有点儿道理。

问题来了：在四维空间中，任何一个以平凡群为基本群的三维弯曲空间与这个超球面是否也是拓扑等价的？

1904 年，庞加莱提出了著名的庞加莱猜想，断言上述问题的答案是肯定的。直到 2005 年末，这个猜想既没有被证明，也没有被推翻。在发表于2002年和2003年的一系列论文中，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigory Perelman，1966-）证明了它是正确的。当我在写这本书时（本书英文版出版于2006年5月），数学家们仍在评审佩雷尔曼的工作。根据这些评审报告的非正式报道，越来越多的人认为佩雷尔曼实际上已经证明了这个猜想。庞加莱猜想是七个千禧年大奖难题之一，解决其中任何一个问题都将获得美国马萨诸塞州剑桥市的克雷数学研究所提供的100万美元奖金。

当一个数学理论开始产生猜想时，它就开始活跃起来了。拓扑学就是伴随着庞加莱 1895 年出版的著作《位置分析》而活跃起来的。在拓扑学发展的最初几十年间，它经常被称为“位置分析”。直到 20世纪 30 年代，人们才普遍用“拓扑学”来命名这个学科。我想这应该感谢所罗门·莱夫谢茨（Solomon Lefschetz，1884-1972）。

数学思想的“矛盾”

庞加莱成为现代拓扑学的创始人，这里有点儿奇怪。

数学家认为，拓扑学实际上有两种风格：一种源自几何学的启示，另一种源自分析学。这里的“分析”指的是数学意义中的分析，即以函数、极限、微分和积分作为研究对象的数学分支，这些研究对象都与连续性有关。如果你回头看一下我在前面多次提到的光滑和连续变形，你就会掌握这种拓扑意义中的联系。从某种意义上说，如果没有光滑、连续、从一个位置到另一个位置的无穷小移动等基础概念，即一些分析的思维方式，那么拓扑学就没有意义。

用数学术语来说，分析的对面是组合。在组合数学中，我们研究的事物可以数出来：1、2、3，等等，且整数之间不存在其他数。因为相邻整数之间没有整数，所以从一个整数到另一个整数没有一条光滑的路径，我们需要跳过一个个间隔。分析数学是连贯的，可以光滑地在连续的空间中穿梭；而组合数学是断断续续的，从一个整数直接跳跃到另一个整数。

如今，拓扑学应该是所有数学研究中最具有连贯性的，因为橡皮面可以光滑、连续地弯曲和伸缩。然而，最早出现的拓扑不变量却是一个表示孔洞数的整数，它用来衡量一个曲面内环状孔洞的个数，是由瑞士数学家西蒙·吕利耶（Simon l'Huilier，1750-1840）于 1813 年发现的。维数是另一个拓扑不变量（在拓扑意义中，你不能把一根鞋带变成一张煎饼，或把一张煎饼变成一块砖），它也是一个整数。甚至连庞加莱发现的那些基本群也不是像李群那样的连续群，而是可数的离散群。尽管这些群可能是无限群，但是它们的元素可以数出来：1、2、3，等等。连续群中的元素是不可数的。所以，拓扑学中所有有趣的东西似乎都是离散的，而不是连续的。

自相矛盾的是，庞加莱经由分析学进入拓扑学，确切地说，他是在研究微分方程的一些问题时来到了拓扑学领域。然而，他的研究结果以及他在《位置分析》中的所有思想都是组合的。从分析角度研究拓扑学（现在通常被称为点集拓扑学）对他而言没什么吸引力。

同样的矛盾在荷兰数学家布劳威尔（1881-1966）的身上更加明显，他是庞加莱最重要的代数拓扑传人。正是布劳威尔在 1910 年证明了维数是一个拓扑不变量。在现代数学中，更为重要的是他的不动点定理。

布劳威尔不动点定理

n维球体到自身的任意连续映射都有一个不动点。

n维球体就是实心单位圆盘（平面上到原点的距离不超过一个单位的点的全体）的概念或实心单位球体（三维空间中到原点的距离不超过一个单位的点的全体）的概念在 n 维空间中的推广。对于二维平面的情形，这个定理意味着如果你把单位圆盘上的每一个点光滑地移到另外某个点处，把非常靠近的点移到同样非常靠近的点，那么总有一个点在移动前后的位置不变。

不动点定理及其直接推广有很多推论。例如，你小心平稳地搅拌杯子里的咖啡，那么某一滴咖啡，或者说某个分子，最终会停在它的起始位置上。（注意，从拓扑意义上说，杯中的咖啡是一个三维球体，通过搅拌，你就把咖啡中的每一个分子从这个三维球体的某个点 X移到了某个点Y，这就是我们所说的“把一个空间映射到自身”的意思。）还有一个不太明显的例子：把一张纸放在桌子上，用记号笔在桌子上画出它的轮廓。现在把这张纸揉皱，但不要撕破它，然后把它放进画出的轮廓里。这张变皱的纸上存在（至少）一个点，一定在画出的这张纸的轮廓中这个点的正上方。

图4 布劳威尔丨图片来源：MacTutor

直觉主义

布劳威尔的拓扑学中潜在的自相矛盾，是他得到的结果与他的哲学思想格格不入。对于一名普通的数学家来说，这也许并不重要，但是布劳威尔是一位非常有哲学想法的数学家。他痴迷于形而上学思想（更确切地说是反形而上学的思想）以及为数学寻找一个可靠的哲学基础。

为此，他创立了直觉主义学说，试图将所有数学根植于人类进行连续思考的思维活动之中。布劳威尔说，一个数学命题不真，是因为它对应于某种柏拉图式的更高实体，这种更高实体超出了我们的物理感官，而我们的大脑却能以某种方式理解它。它不真，还因为它遵循了一些语言形符的规则，就像布劳威尔时代的逻辑学家和形式主义者（如罗素和希尔伯特）所主张的那样。它为真，是因为我们可以进行一些适当的心理建构，一步一步体验它的正确性。按照布劳威尔的说法，构成数学的材料（非常粗略地说）并不是从超出我们感知的世界里的某个仓库里取出来的，也不仅仅是语言或者在纸上根据规则操作的符号。它是一种思想——一种人类活动，最终建立在我们对时间的直觉上，它是人类本能的一部分。

这仅仅是对直觉主义最简单的概括，它催生了大量的文献。了解这种哲学的读者会察觉到康德和尼采对其产生的影响。

事实上，不管怎么说，布劳威尔绝不是这条思路仅有的开创者。类似的思想贯穿数学的现代历史，可以追溯到康德之前，至少可以追溯到笛卡儿的时代。我认为，四元数的发现者哈密顿可以被看作直觉主义者。1835 年，他在论文《作为纯时间科学的代数》中试图将康德的基于几何学的数学思想建立在“直觉”和“构造”之上，并引进到代数中。

19 世纪后期，利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823-1891）强烈反对格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845-1918）把“实无穷”引入集合论中，你可以称克罗内克为前直觉主义者。克罗内克认为，像这样的不可数集合不属于数学，数学即使没有它们也能发展，它们把无用且不必要的形而上学的包袱带到了数学中，数学应该根植于计数、算法和计算。

正是这个思想学派被布劳威尔带到20世纪，传播给后来的数学家，例如美国数学家埃里特·毕晓普（Errett Bishop，1928-1983）。布劳威尔的学说被称为“直觉主义”，毕晓普的学说被称为“构造主义”。这些思想现在都被称为“构造主义”，它们在美国的倡导者是美国柯朗数学科学研究所的哈罗德·爱德华兹（Harold M. Edwards，1936-）教授。爱德华兹教授在其 2004 年的著作《构造数学论著集》（Essays in Constructive Mathematics）中很好地说明了这种方法（事实上，他的其他著作也是如此）。

爱德华兹教授认为，随着功能强大的计算机便捷化，构造主义现已迎来了它的时代，而且一旦人们对思维方式做出了适当调整，那么人们自1880年以来取得的很多数学成果看起来都会是误解。我没有资格评判这个预言，但就其特点而言，我个人觉得构造主义的方法非常有吸引力。

总之，在布劳威尔 30 岁左右的那几年里，他在代数拓扑方面的研究一定与他的哲学观点有冲突。十年后，他的同胞范德瓦尔登来到荷兰阿姆斯特丹跟随他学习。范德瓦尔登在接受《美国数学学会通告》采访时说：

尽管布劳威尔最重要的研究贡献在拓扑学领域，但是他从来没有开设过拓扑学课程，而且总是只开设直觉主义基础课程。他似乎不再相信自己在拓扑学方面的成果，因为从直觉主义的观点来看，它们是不正确的。根据他自己的哲学，他认为之前做过的每一件事情——甚至他最伟大的成果——都是错误的。他是一个非常奇怪的人，他疯狂地热爱自己的哲学。

作者简介

约翰·德比希尔（John Derbyshire），出生于英国，是一位美国系统分析师、作家和评论家，曾学习过数学和语言学。他曾是美国《国家评论》的专栏作家，其写作题材非常广泛，著有《素数之恋》《梦见柯立芝》等多部作品。

本文经授权节选自《代数的历史：人类对未知量的不舍追踪》（人民邮电出版社·图灵新知，2021.4）第14章《代数无处不在》，小标题为编者所加。

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