你能想到的最大数字是多少？原来，数数也算一门学问

问一个孩子他能想到的最大的数是什么，他往往会一长串地念下去“五十亿亿万亿万亿……”直到喘不过气来，可能还掺杂着自创词汇。

这样的数按照日常标准当然很大了，也许比地球上所有生物的数量，或者宇宙中所有星体的数量还要多。但是这些与数学家们遇到的真正的大数比起来，可还是小巫见大巫。

“大数学”（googology）便是专门研究巨大数字的子学科（请注意是“大数/学”，而不是“大/数学”）。

几年前，麻省理工学院举办了一场“大数冠军赛”。

规则很简单，两个人走到黑板前，轮流一个数字，数字更大者即可胜出。但有一些限制，比如你不能写“另一个人的数字+1”，也不能写无限，但在大多数情况下，只要数字定义清楚，随你怎么写都可以。

“大数冠军赛”宣传海报，左下方是擂主拉约，记住这个人，后面会考

所以，数数怎么还成了门学问，甚至还能比赛呢？ 

01

最早思考大数的大脑

阿基米德被认为是最早开始认真思考大数问题的人之一。他想知道世界上有多少颗沙粒，以及多少沙粒可以塞进整个空间。他在文章《数沙者》中写道 ：

我知道有些人认为沙子的数量是无限的……但还有人不把沙子的数量看作无限，但是认为不会有数可以超过它。

为了铺平道路，阿基米德开始扩展当时可用的大数命名系统——这也是此后所有试图定义越来越大的整数的数学家们首先遇到的关键挑战。

希腊人将10000 称为 murious，意为“无法计数”。阿基米德使用了“无数无数”作为自己研究的起点，也就是 100 000 000，用现代指数来表示就是10⁸。

阿基米德将任何达到“无数无数”的数称为“第一级数”，将达到“无数无数”乘以“无数无数”的数（10¹⁶）称为“第二级数”，以此类推。

通过这样的方法，阿基米德可以描述到有 800 000 000 位的数字，他把这些数字定义为“第一阶段”。数字10^800000000本身则被视作“第二阶段”的开始，并不断以这样的过程重新开始。每个阶段都比上一阶段的数大10⁸ 倍，直到无数个无数周期的结束，最后，他可以得到一个巨大的数

10^{80 000 000 000 000 000}，或者说一个“无数的无数倍的无数次幂”。

02

神秘的东方力量

就大数这件事而言，阿基米德称得上是西方世界的巫师，但在东方世界，学者们很快就把对大数的探索推进了很多。

早在大约 3 世纪，印度梵语文献《普曜经》便介绍了一个以俱胝（koti）（梵文中的10 000 000）开头的数字系统。

从 koti 开始往下，是一长串数字，每一个都比上一个大一百倍 ：一百个 koti 是一个阿廋多（ayuta），一百个 ayuta 是一个那由他（niyuta），一 直到 tallakshana，也就是 1 后面有 53 个 0。同时，他将更大的数字命名为 dhvajhagravati，等于 10⁹⁹，直到uttaraparamuarajapravesa，即 10⁴²¹。

另一部佛教文献《华严经》描述了一个具有无穷多层级、互相交叉的宇宙。在卷三十中，佛陀再次阐述了大数的形成，从 10¹⁰ 开始，将其平方得到 10²⁰，再次平方得到 10⁴⁰……一直到 10^{101 493 392 610 318 652 755 325 638 410 240}。再将这个数平方，便可以得到“难以计数之物”。他继续命名更大的数为“无量”“无边”“无比”“无数”“不可思”“不可量”“不可说”，到最后的顶点得到一个“不可说不可说转”——10^{10×(2^122)}。这个数字让阿基米德在其著作中提到的最大数字 10^{80 000 000 000 000 000} 相形见绌。

03

宇宙已经容不下的巨大数字

1920 年，美国数学家爱德华 · 卡斯纳让他九岁的侄子米尔顿 · 西洛塔为 1 后面有 100 个 0 的数字想一个名字，西洛塔想到的是“googol”。在被卡斯纳与詹姆斯 · 纽曼合著的书《数学与想象》引用以后，“googol”被收录进了流行词典。

西洛塔还引申出一个“googolplex”，意为“在 1 后面写 0 写 到你累了为止。” 如果我们将这个轻描淡写改良一下，googolplex 可以精确地表示为：它是 10^googol，即 1 后面有 googol 个 0。googolplex 大得吓人，地球上没有足够多的纸张能写下它，即使把每一个零写得像质子或电子一样小，在整个可观察宇宙也不足写下它的全部位数。

“已知的宇宙也无法容得下能写完googolplex所有的零的纸”

由googol衍生出的googolplex，zoogol和zoogolplex的数值

googolplex 比古代任何有名字的所有数都大，包括那个“不可说不可说转”。然而，它却比一个数字要小——“斯基维斯数字”。它是 1933 年由南非数学家斯坦利 · 斯基维斯在研究质数时产生出来的。它指的是质数分布问题的上限，数值是10^{10^8852142197543270606106100452735038.55}。

英国著名数学家戈弗雷 · 哈罗德 · 哈代将“斯基维斯数字”描述为“数学史上有实际意义的最大的数”，这个巨大的上限本身需要黎曼假设。

为了不被纯数学领域超越，物理学家们也提出了一些物理领域的大数用以解决一些不同寻常的难题。在这场大数对战中，物理学前沿的一个早期的出场选手是法国数学家、理论物理学家和博学家亨利 · 庞加莱。他在诸多著作中提出了一个问题：物理系统需要多长时间才能准确地返回到某个状态？这个时间被称为“重现时间”。加拿大理论家唐 · 佩奇（他曾是斯蒂芬 · 霍金的学生）估计，可观测宇宙的庞加莱重现时间为 10^{10^10^10^2.08} 年，这个数字介于 googolplex 与斯基维斯数字之间。

04

新符号？新咒语！

当指数符号过于频繁，不利于排版时，美国计算机科学家高德纳引入了“向上箭头表示法”。在这种命名法中，指数运算用一个单独向上箭头↑表示，如 googol（10100）可表示为 10↑100，33 可表示为 3↑3。而重复的指数运算（我们没有日常符号）则用两个向上箭头↑↑表示，被称作“迭代幂次”。这个运算强度非常大，以 3 这个很小的数字为例：

3↑↑3=3^{3^3} =3²⁷

其数值是 ：7,625,597,484,987

从指数到迭代幂次，仅仅多加了一个向上箭头，带来的是更具戏剧性的增长。如果这样持续运算下去，这个幂塔的长度可以延伸到太阳。这个数字被称为tritri，它远比我们之前提到的任何数字都要大，简直要超出我们这些平凡生命体的理解范畴了。但我们才刚刚开始。尽管 tritri 是如此之大，但它与葛立恒数的伟大顶峰相比， 还是如同一颗微不足道的尘埃。

罗纳德·葛立恒（Ronald Graham）

数学家，杂技演员、魔术师

妥妥的“斜杠人士”

他的妻子是华人图论专家金芳蓉

因此他也取了中文名字“葛立恒”

让我们在刚刚的数上再加一个向上箭头，就可以看到：3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑tritri。

第一层是 3。

第二层是 3↑3↑3=7,625,597,484,987。

第三层是3↑3↑3↑3…↑3——即有 7,625,597,484,987 个 3（即 tritri）。

第四层是 3↑3↑3↑3…↑3，也就是 tritri 个 3。

以此类推，3↑↑↑↑3 是 tritri 的幂塔。

↑↑↑，这是一个难以置信的巨大进步。但到目前为止，我们只爬到了G1处，即葛立恒数系列的第一个，葛立恒数本身的起点。那G2是什么呢？3↑↑↑↑…↑3，G1个向上箭头。即使只是看一眼，这个数都有点让人头晕目眩。可以继续推测，接下来 G3 有 G2个向上箭头，而 G4有 G3 个向上箭头……而葛立恒数是多大呢？是 G64。

而它依然不是目前人类能创造出的最大的数。 

05

“理论数字”

还记得开头的大数对决吗？

这场混合着喜剧、复杂数学、逻辑、哲学思辨的数学大战可谓戏剧性、娱乐性拉满。擂主是麻省理工学院哲学家阿古斯丁·拉约（外号“墨西哥增殖怪兽”），挑战者是普林斯顿大学哲学家阿达姆·埃尔加（外号“邪恶博士”），二人在谁能定义出更大的整数上一决雌雄。

埃尔加以数字 1 开局，但拉约很快以整个黑板的 1 作为反击。埃尔加不甘示弱，立即将除了开头两个1之外的所有1都擦断，将它变为11后面跟着一串阶乘符号（!） 。

确实属于合理利用规则

随着这样的决斗继续进行，数字最终超越了人们熟悉的数学领域，直到对阵双方不得不发明自己的符号来表示更大的数。

最后拉约给出了致命一击。他描述这个数是“比任何由一阶集合论语言中，包括 googol 符号在内，或更少的表达符号所命名的有限正整数都大的最小正整数”。

这个拉约数字到底有多大，我们无法得知，可能永远也无法得知。没有足够的时间和空间：拉约数字是不可计算的，就像停机问题一样不可计算。

现在，当谈论到我们容易感知到的最大正整数时，拉约数字或多或少划清了我们已知和未知的边界。

有一些更大的数字被制造出来，其中最著名是 2014 年诞生的 “BIG FOOT”。但是要想粗略了解 BIG FOOT，就意味着我们要进入一个叫作“oodleverse”的陌生领域，学习“一阶 oodle 理论”的语言——这是一个需要我们有更高的数学水平，以及更高的幽默水平来解决的绝佳冒险。毕竟，迄今为止所有能达到的最大命名的大数都建立在拉约数字同样的体系之上。

人们很容易认为，像拉约数字这样的巨大数字让我们更接近无限。但事实并非如此。无限的数字也许可以用来产生有限的数字，但不管我们找到的数字有多么高，永远没有一个点让“有限”与“无限”相融合。事实上，与我们小时候数 1、2、3 相比，寻找更大的有限数并没有朝无限走近一步。

但我们总会走到半径更大的地方。

——互动问题——

你能想象的非常大的数字是什么？

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